高等代数考试，谢谢大家！
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额，看了下第一题，好像可以做变换x=y+1，然后用爱森斯坦判别法
别的貌似挺难，晚上再看看吧，不一定能做出来
最后一题，第一问不难；第二问因为只要充分条件，可以说个简单一点的比如|A|>0，这时A*=|A|A^(-1)，所以A'A*A=A|A|A^(-1)A=|A|A，取C=A/√|A|即有A=C'A*C.
第三题，(1)因为A^k=0，所以E=E-A^k=(E-A)(E+A+…+A^(k-1)),所以(E-A)^(-1)=E+A+…+A^(k-1),(2)记(E-A)^(-1)=B,则(E-A)B=E,所以(E-A)(B-λE)=E-λ(E-A)=λA-(λ-1)E,所以|(E-A)(B-λE)|=|λA-(λ-1)E|.若λ为B的特征值，则|B-λE|=0且λ≠0（由于B可逆）,所以|A-(λ-1)E/λ|=0,所以(λ-1)/λ为A的一个特征值，所以(λ-1)/λ=Xi或(λ-1)/λ=0（由于A^k=0,所以|A|^k=0,所以|A|=0,即0也是A的特征值）,所以λ=1/(1-Xi)(易知Xi≠1,因为E-A可逆)或λ=1.反之，若λ=1/(1-Xi)(i=1,…,r)或λ=1,也可验证λ为B的特征值.
第二题最后一个式子(A+B)(s-1)没写错吧……是(A+B)^(s-1)还是(s-1)(A+B)啊
别的貌似挺难，晚上再看看吧，不一定能做出来
最后一题，第一问不难；第二问因为只要充分条件，可以说个简单一点的比如|A|>0，这时A*=|A|A^(-1)，所以A'A*A=A|A|A^(-1)A=|A|A，取C=A/√|A|即有A=C'A*C.
第三题，(1)因为A^k=0，所以E=E-A^k=(E-A)(E+A+…+A^(k-1)),所以(E-A)^(-1)=E+A+…+A^(k-1),(2)记(E-A)^(-1)=B,则(E-A)B=E,所以(E-A)(B-λE)=E-λ(E-A)=λA-(λ-1)E,所以|(E-A)(B-λE)|=|λA-(λ-1)E|.若λ为B的特征值，则|B-λE|=0且λ≠0（由于B可逆）,所以|A-(λ-1)E/λ|=0,所以(λ-1)/λ为A的一个特征值，所以(λ-1)/λ=Xi或(λ-1)/λ=0（由于A^k=0,所以|A|^k=0,所以|A|=0,即0也是A的特征值）,所以λ=1/(1-Xi)(易知Xi≠1,因为E-A可逆)或λ=1.反之，若λ=1/(1-Xi)(i=1,…,r)或λ=1,也可验证λ为B的特征值.
第二题最后一个式子(A+B)(s-1)没写错吧……是(A+B)^(s-1)还是(s-1)(A+B)啊
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