设f(x)二阶可导,f(0)=0,令g(x)=f(x)/x {x≠0}, g(x)=f'(0) {x=0},求g'(x)

设f(x)二阶可导,f(0)=0,令g(x)=f(x)/x,x≠0,g(x)=f'(0),x=0求g'(x)... 设f(x)二阶可导,f(0)=0,令
g(x)=f(x)/x ,x≠0,
g(x)=f'(0) ,x=0 求g'(x)
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小阳同学
2021-07-19 · 知道合伙人教育行家
小阳同学
知道合伙人教育行家
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江苏省高等数学竞赛二等奖

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计算如下:

由导数的定义有

g'(0)=lim(x-->0)[g(x)-g(0)]/(x-0)=lim(x-->0)[g(x)-g(0)]/x=lim(x-->0)[g(x)-f'(0)]/x

又因为当x不等于0时,有g(x)=f(x)/x,所以

g'(0)=lim(x-->0)[f(x)/x-f'(0)]/x=lim(x-->0)[f(x)-x*f'(0)]/x^2

因为该式的极限为0/0型,所以由罗必达法则(即所求极限等于分母的导数除以分子的导数)有

g'(0)=lim(x-->0)[f'(x)-f'(0)]/2x,

又因为该式的极限是0/0型,所以再次应用罗必达法则有

g'(0)=lim(x-->0)f''(x)/2=f''(0)/2


几何含义

函数与不等式和方程存在联系(初等函数)。令函数值等于零,从几何角度看,对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标;从代数角度看,对应的自变量是方程的解。

另外,把函数的表达式(无表达式的函数除外)中的“=”换成“<”或“>”,再把“Y”换成其它代数式,函数就变成了不等式,可以求自变量的范围。

茹翊神谕者

2023-07-16 · 奇文共欣赏,疑义相与析。
茹翊神谕者
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简单分析一下,详情如图所示

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Swecaty
2020-05-17 · TA获得超过6413个赞
知道大有可为答主
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根据复合函数求导法则,g'x=(f`(x)*x-fx)/x2.不懂再追问吧
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追问
x=0时呢
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由导数的定义有g'(0)=lim(x-->0)[g(x)-g(0)]/(x-0)=lim(x-->0)[g(x)-g(0)]/x=lim(x-->0)[g(x)-f'(0)]/x又因为当x不等于0时,有g(x)=f(x)/x,所以g'(0)=lim(x-->0)[f(x)/x-f'(0)]/x=lim(x-->0)[f(x)-x*f'(0)]/x^2;再用洛必达
g'(0)=lim(x-->0) [f'(x)-f(0)]/2x=f''(0)/2
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