Question

设f(x)二阶可导，f(0)=0,令g(x)=f(x)/x {x≠0}, g(x)=f'(0) {x=0},求g'(x)

设f(x)二阶可导，f(0)=0,令
g(x)=f(x)/x ,x≠0,
g(x)=f'(0) ,x=0 求g'(x)

Answer 1

计算如下：

由导数的定义有

g'(0)=lim(x-->0)[g(x)-g(0)]/(x-0)=lim(x-->0)[g(x)-g(0)]/x=lim(x-->0)[g(x)-f'(0)]/x

又因为当x不等于0时，有g(x)=f(x)/x，所以

g'(0)=lim(x-->0)[f(x)/x-f'(0)]/x=lim(x-->0)[f(x)-x*f'(0)]/x^2

因为该式的极限为0/0型，所以由罗必达法则(即所求极限等于分母的导数除以分子的导数）有

g'(0）=lim(x-->0)[f'(x)-f'(0)]/2x,

又因为该式的极限是0/0型，所以再次应用罗必达法则有

g'(0)=lim(x-->0)f''(x)/2=f''(0)/2

几何含义

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示

Answer 3

根据复合函数求导法则，g'x=(f`(x)*x-fx)/x2.不懂再追问吧

追问

x=0时呢

追答

由导数的定义有g'(0)=lim(x-->0)[g(x)-g(0)]/(x-0)=lim(x-->0)[g(x)-g(0)]/x=lim(x-->0)[g(x)-f'(0)]/x又因为当x不等于0时,有g(x)=f(x)/x,所以g'(0)=lim(x-->0)[f(x)/x-f'(0)]/x=lim(x-->0)[f(x)-x*f'(0)]/x^2；再用洛必达
g'(0)=lim(x-->0) [f'(x)-f(0)]/2x=f''(0)/2

追问

谢谢你 其实我想问的就是这里
为什么 lim(x-->0)[f(x)-x*f'(0)]/x^2 洛必达得到的是
lim(x-->0) [f'(x)-f'(0)]/2x 而不是 lim(x-->0) [f'(x)-f'(0)-xf''(0)]/2x呢 也就是说xf'(0)对x求导后为什么变成了 f'(0)，f'(0)确定了是常数吗

追答

当然啊，某一点的导数难道不是常数？？？？