Question

求极限：lim[sin(1/x)+cos(1/x)]^x (x趋于正无穷）

Answer 1

lim[sin(1/x)+cos(1/x)]^x
(x趋于正无穷）
解:
令t=1/x,
当x->正无穷,有:t->0
则:
lim(x->正无穷)[sin(1/x)+cos(1/x)]^x
=lim(sint+cost)^(1/t)
=lim[1+(sint+cost-1)]^{[1/(sint+cost-1)]*(sint+cost-1)/t}
因为:
lim(t->0)(sint+cost-1)/t
=lim(t->0)(cost-sint)=1
所以
lim(sint+cost)^(1/t)
=lim[1+(sint+cost-1)]^{[1/(sint+cost-1)]*(sint+cost-1)/t}
=e^1
=e
分析:
对于该极限,从她的形式你可以猜想他可能跟这个重要极限有关:
lim(x->无穷)(1+1/x)^x=e
所以你要想办法配出这种形式:
(1+无穷小量)^(无穷大量)
那么问题就可以解决了!
看了一下楼上的解答,
其实用等价来做,问题可以更简单
也用到了
重要极限

Answer 2

原式可化为：e^{limln[sin(1/x)+cos(1/x)]^x}
而
limln[sin(1/x)+cos(1/x)]^x
=limxln[sin(1/x)+cos(1/x)]
=limln[sin(1/x)+cos(1/x)]/（1/x）
再令1/x=t则化为，则x趋于正无穷，则t趋向0+
limln（sint+cost）/t
利用罗必塔法则：
{(cost-sint)/（sint+cost）}/1
t趋向0+
代入得
=1/1=1
所以lim[sin(1/x)+cos(1/x)]^x
=e^1=e

Answer 3

简单分析一下，答案如图所示