Question

点A,B分别是椭圆x^2/36+y^2/20=1长轴的左右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上且位于x轴上方BA垂直于PF

点A,B分别是椭圆x^2/36+y^2/20=1长轴的左右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上且位于x轴上方BA垂直于PF
（1）求点p坐标
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点M到直线BP的距离等于|MA|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值

Answer 1

1.A(-6,0)，B(6,0),F(4,0)
点P坐标，设为（x,y),y>0,x^2/36+y^2/20=1 (1)
PA、PF互相垂直，其斜率相乘为-1
即 y/(x+6) * y/(x-4)=-1 => y^2=-(x+6)(x-4) （2）
将（2）代入（1）中，x^2/36-(x+6)(x-4)/20=1
=> 2x^2+9x-18=0
=> x=3/2,x=-6 代入（2）中
x=3/2 时 ，y^2=-(6+1.5)/(1.5-4)=7.5/2.5=3 而y>0 所以 y=√3
x=-6 时 ， y^2=0 => y=0不合题意，舍去
故所求点P的坐标为(3/2,√3)

2,由P(3/2,5√3/2)得L(AP):(y-0)/(5√3/2-0)=(x+6)/(3/2+6)则L(AP): x-√3y+6=0∵M到AP距离=lMBl,M(x,0) |x+6|/2=l6-xl(-6<=x<=6)x=2则M为(2,0) 设(x,y)到M距离d d^2=(x-2)^2+y^2=4/9(x-9/2)^2+15∴x=9/2时d(min)=√15

Answer 2

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