Question

同济第六版高数下册P232页上面，我不懂所写的“注意到”后面那个积分为什么等于零呢？

真的很想知道，我考研复习，也没有多少分，真的谢谢了

Answer 1

对二重积分而言，有类似一元奇函数函数在对称区间上的积分为0的性质。
具体表述为：
先说什么是对称区域，即有一条直线将区域分成两个部分，区域上的一点都通过对称轴有一点和他对称。
对一个对称区域，如果每个点和他的对称点的函数值的绝对值相等符号相反，则在这个歌区域上的二重积分为0.
对三重积分而言，对称区域是由平面来分割，其余的类似。

追问

但是我看到P138的二重积分的几何意义定义不是等于以D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积，这个体积跟D在哪里，对称与否并没有关系啊。那怎么会分正负呢？

追答

正想一元定积分的几何意义是曲边梯形面积的“代数和”一样，二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积的“代数和”。
“代数和”你清楚吧。就是体积有正负的。