Question

设f(x)=∫(上限x 下限0) sint/(π-t) dt , 计算 ∫(上限π 下限0) f(x) dx

Answer 1

本题两种做法，一种是用二重积分交换积分次序来做，另一种是定积分分部积分，我用后一种
f
'(x)=sinx/(π-x)
∫(0-->π)
f(x)
dx
=xf(x)-∫(0-->π)
xf
'(x)
dx
=πf(π)-∫(0-->π)
xsinx/(π-x)
dx
由f(π)=∫(0-->π)
sint/(π-t)
dt
=π∫(0-->π)
sint/(π-t)
dt-∫(0-->π)
xsinx/(π-x)
dx
积分变量可随便换字母
=π∫(0-->π)
sinx/(π-x)
dt-∫(0-->π)
xsinx/(π-x)
dx
=∫(0-->π)
(π-x)sinx/(π-x)
dx
=∫(0-->π)
sinx
dx
=-cosx
|(0-->π)
=2