如图所示,PA为圆O的切线,A为切点。过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交圆O于点B,延长BO与圆O 50

如图所示,PA为圆O的切线,A为切点。过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交圆O于点B,延长BO与圆O交于点D,与PA的延长线交于点E。若tan∠ABE=1/2,求sinE... 如图所示,PA为圆O的切线,A为切点。过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交圆O于点B,延长BO与圆O交于点D,与PA的延长线交于点E。

若tan∠ABE=1/2,求sinE的值。

老师说有8种解法,有多少都show出来吧!!谢谢
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一城风1
2014-04-20 · TA获得超过242个赞
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1.连接OA,∠AOE=2∠ABE,所以tan∠AOE=tan2∠ABE=2tan∠ABE/(1-tan∠ABE^2)=4/3.
所以AE/AO=4/3,因为PE为切线,所以OA垂直PE,设OA为3,AE为4,由勾股定理得OE为5,所以sinE=OA/OE=3/5。
2.sinE=sin(π/2-2∠ABE)=cos(2∠ABE)=2cos∠ABE^2-1.因为tan∠ABE=1/2,所以cos∠ABE=2/根号5,所以sinE=2*4/5-1=3/5。
3、tan∠ABE=1/2,所以tan∠OPA=tan∠ABE=1/2,所以OA=0.5AP=0.5BP。根据HL可证三角形OCA全等与三角形OCB,所以BC=AC,再根据SAS可证三角形ACP全等于三角形BCP,所以BP=AP,而且∠OBP=90°,所以sinE=BP/(BP+AE)=BP/(BP+OA/tan∠E)=1/(1+0.5/tan∠E)。另sinE=x,所以tanE=x/((1-x^2)^0.5),所以x=1/(1+(0.5*(1-x^2)^0.5/x)),解方程得x=1或x=3/5,又因为∠E不为90°,所以sinE=3/5。
qaz957517824
2012-10-09
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(1)证明:连接OA ∵PA为⊙O的切线, ∴∠PAO=90° ∵OA=OB,OP⊥AB于C ∴BC=CA,PB=PA ∴△PBO≌△PAO ∴∠PBO=∠PAO=90° ∴PB为⊙O的切线 (2)解法1:连接AD,∵BD是直径,∠BAD=90° 由(1)知∠BCO=90° ∴AD∥OP ∴△ADE∽△POE ∴EA/EP=AD/OP 由AD∥OC得AD=2OC ∵tan∠ABE=1/2 ∴OC/BC=1/2,设OC=t,则BC=2t,AD=2t由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t,OP=5t ∴EA/EP=AD/OP=2/5,可设EA=2m,EP=5m,则PA=3m ∵PA=PB∴PB=3m ∴sinE=PB/EP=3/5 (2)解法2:连接AD,则∠BAD=90°由(1)知∠BCO=90°∵由AD∥OC,∴AD=2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC=t,BC=2t,AB=4t由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t, ∴PA=PB=2 t 过A作AF⊥PB于F,则AF•PB=AB•PC ∴AF= t 进而由勾股定理得PF= t ∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5
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彼岸的恶魔堕落
2012-04-04 · TA获得超过175个赞
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(1)证明:连接OA ∵PA为⊙O的切线, ∴∠PAO=90° ∵OA=OB,OP⊥AB于C ∴BC=CA,PB=PA ∴△PBO≌△PAO ∴∠PBO=∠PAO=90° ∴PB为⊙O的切线 (2)解法1:连接AD,∵BD是直径,∠BAD=90° 由(1)知∠BCO=90° ∴AD∥OP ∴△ADE∽△POE ∴EA/EP=AD/OP 由AD∥OC得AD=2OC ∵tan∠ABE=1/2 ∴OC/BC=1/2,设OC=t,则BC=2t,AD=2t由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t,OP=5t ∴EA/EP=AD/OP=2/5,可设EA=2m,EP=5m,则PA=3m ∵PA=PB∴PB=3m ∴sinE=PB/EP=3/5 (2)解法2:连接AD,则∠BAD=90°由(1)知∠BCO=90°∵由AD∥OC,∴AD=2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC=t,BC=2t,AB=4t由△PBC∽△BOC,得PC=2BC=4t, ∴PA=PB=2 t 过A作AF⊥PB于F,则AF•PB=AB•PC ∴AF= t 进而由勾股定理得PF= t ∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5
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