Question

把积分化为极坐标形式,并计算积分值∫0~1dx∫x~3^1/2x 1/(x^2+y^2)^1/2dy 求高人指点！！！！

答案是ln(2+3^1/2)/(1+2^1/2)

Answer 1

可不可以单把第二个积分上限写出来？ 是根号3乘以X吗？ 那就这样呗：令第二个积分号内的被积式为r，根据原积分区域将积分改为：∫pai/4~pai/3dθ∫0~1/sinθ r^2dr.化简后得到（∫pai/4~pai/3 1/sin^3θdθ）/2.这下就好积了，上下同乘以sinθ，变成-dcosθ，利用平方差(分式积分的待定系数法分解因式)，就得到结果了~~~

追问

∫0~1/sinθ r^2dr ?

追答

就是积分下限是0，积分上限是1/sinθ，被积式为r^2.这就是在新坐标系下的积分区域，你可以在纸上画出原积分区域，再进行极坐标转化，关键要理解变量的变化方式。其实换成极坐标积分后还是挺复杂的。

追问

我就是不知道这个R的范围是怎么得出来的，求详细的解释

追答

哦，是这样，图中直线组成的三角形是原积分区域，现在对于任意的θ，r的最大长度为图中的粗线长度（积分上限），他的长度为1除以cosθ。原来sb了一下，写错了，应该是cos（图有点粗糙~嘿嘿）