Question

大一高数微分方程的通解问题 （1）xy'+1=e^y；（2）y''-y=xe^-x

Answer 1

1) 设u=e^y
y=lnu
dy/dx=(dy/du)×(du/dx)=(du/udx)
从而 xdu/udx+1=u
移项 xdu/udx=u-1
即 du/[u(u-1)]=dx/x
积分得 ln[1-(1/u)]=lnx+C1
1-(1/u)=x+C'
x+C=-1/u
e^y=-1/(x+C)
y=ln[-1/(x+C)]
2) 特征方程为 λ²-1=0
特征根为 λ=±1
从而得到该方程的一组基础解组 e^x, e^(-x)
设该方程有如下形式的特解 y* =x(ax+b)e^(-x)
代入原方程得 -(4ax+2b)e^(-x)+2ae^(-x)=xe^(-x)
解之得 a=-1/4 b=-1/4
从而得到该方程的通解为
y=C1e^x+C2e^(-x)-[(x²+x)e^(-x)]/4

Answer 2

1)xdy/dx=e^y-1
dy/(e^y-1)=dx
d(e^y)[1/(e^y-1)-1/e^y]=dx
积分：ln|(e^y-1)/e^y|=x+c1
(e^y-1)/e^y=ce^x
y=-ln(1-ce^x)
2) 特征根为：1, -1, 因此通解为：y1=c1e^x+c2e^(-x)
特解可设为：y2=x(ax+b)e^(-x)
y2'=(2ax+b-ax^2-bx)e^(-x)
y2"=(2a-4ax-2b+ax^2+bx)e^(-x)
代入原方程：2a-4ax-2b=x
比较系数得：2a-2b=0, -4a=1, 得：a=b=-1/4,
因此原方程通解为：y=y1+y2=c1e^x+c2e(-x)-x(x+1)/4* e^(-x)