Question

选修2-2数学

已知函数f(x)=ax^2+2ln(1-x)(a为常数),若f(x)在[-3,-1]上是增函数,求a的取值范围.

我班的同学答案都不一样。。。求正解

Answer 1

f(x)=ax^2+2ln(1-x)
f'(x)=2ax+2/(1-x)*(1-x)'=2ax+2/(x-1)
∵f(x)在[-3,-1]上是增函数
∴任意的x∈[-3,-1] ，f'(x)≥0恒成立
即2ax+2/(x-1)≥0, ax≥1/(1-x),a≤1/(x-x²)恒成立
需 a≤[1/(x-x²)]min
∵x-x²=-(x-1/2)²+1/4 ， x∈[-3,-1]
∴-12≤x-x²≤-2
∴-1/2≤1/(x-x²)≤-1/12
∴[1/(x-x²)]min=-1/2
∴符合条件a的取值范围是a≤-1/2.

追问

确定答案是对的吗？

Answer 2

用求导数法：f‘(x)=2ax+2/(1-x)在[-3,-1]上大于0；
2ax>-2/(1-x)，2ax(1-x)>-2，-2ax^2-2ax+2>0；
a=0时即恒成立，a≠0时，-2a[(x+1/2)^2 -1/4-1/a]>0，
(x+1/2)^2在x∈[-3,-1]上值域是[0 ，25/4]，
a<0且-1/4-1/a>0,a∈(-4,0）或a>0且-1/4-1/a<-25/4，a∈(0，1/6）；
即a∈(-4，1/6）时满足要求。