Question

求助数学问题，急急急急急急

在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的第一象限部分上求一点p，使该点处的切线，椭圆及两坐标所围成的面积最小，
解设0<x0<a,0<y0<b过椭圆上点（x0,y0）处的切线的斜率k满足x0/a^2+y0k/b^2=0
为斜率k满足x0/a^2+y0k/b^2=0为什莫

Answer 1

由于椭圆面积一定，所以问题就等价于求P，使过P点的切线与两坐标轴所围三角形的面积为最小

设点P坐标为(x,y),x>0,y>0,则过P点的切线方程为: (x/a^2)X+(y/b^2)Y=1,
即 X/(a^2/x)+Y/(b^2/y)=1,
他在两坐标轴上截距分别为 A=a^2/x， B=b^2/y.

三角形面积S=A*B/2=（a^2)*(b^2）/(x*y).

由　x^2/a^2+y^2/b^2=1，可得　y^2=(b/a)^2*(a^2-x^2).

所以求S的最小值，等价于求x*y的最大值，
又等价于求(x^2)*(y^2)的最大值，即f(x)=x^2*(a^2-x^2)的最大值.

【注：最简单方法】利用参数方程，设P=(acost,bsint)，
则过P点的切线方程为X(cost)/a+Y(sint)/b=1,
他在两坐标轴上截距分别为 A=a/cost， B=b/sint.

三角形面积S=A*B/2=（a*b）/(2cost*sint)=(a*b)/sin2t.
当t=π/4时,即P=((√2/2)*a,(√2/2)*b)时，三角形面积S有最小值a*b

Answer 2

∵过P（x0，y0）的切线方程为：(x0/a^2)x+(y0/b^2)y=1
∴ K = -（x0/a^2）/ (y0/b^2)
(y0/b^2) k = -（x0/a^2）
即：x0/a^2+y0k/b^2=0 成立

附：原理如下
ax+by+c=0的斜率：K = -a/b

Answer 3

说道说道