Question

线性代数，可逆矩阵，初等变换

Answer 1

p(a,e)=（b,p）这是分块矩阵的乘法。设a,b,p,e都是n阶方阵。（e是n阶单位矩阵）
（a,e）是把e放在a的右边得到的一个n行2n列矩阵。作为分块矩阵，它是一行二列。
p作为分块矩阵是一行一列，所以按分块矩阵乘法规则，[和通常矩阵乘法一致]：
p(a,e)=（pa,pe）,而pa＝b,
pe＝p.,所以p(a,e)=（b,p）。
这里是谈用初等变换求a的逆矩阵。取p＝a^（-1）.则pa＝b＝e.上面式子成为
a^（-1）（a,e）＝（e,a^（-1））,
a^（-1）是一个可逆矩阵，它等于一些“初等矩阵”的乘积。例如a^（-1）＝f1f2f3
f1f2f3（a,e）＝（e,a^（-1））,
注意一个矩阵左乘一个“初等矩阵”。其结果，与把这个矩阵施行一次行初等变换（就是
把e变成那个“初等矩阵”所施行的那个行初等变换）的结果相等。
这就是说，（a,e）施行3次行初等变换。得到（e,a^（-1））,
也就是说，对（a,e）施行行初等变换。当左边的a变成单位矩阵e时，右边的e,就跟着变成了
a^（-1），这就是初等变换求逆的方法。需要说明的是。
①如果a
不可逆。则a用行初等变换，变不出e.不会有结果。
②（a,e）只可以用行初等变换。
③如果
┌a┐
└e┘则用列初等变换。a变成e时。下面的e.就变成了a^（-1）

Answer 2

首先讲第二句
同阶可逆矩阵秩相等，就是相抵矩阵，相抵即可通过初等变换得到，书上有证明
第一句，满足前半句话只要求矩阵相抵就行了，比如[1,0;01]和[1,0;0,-1]，
后半句话是要求矩阵合同的，显然[1,0;01]和[1,0;0,-1]做不到合同，所以C是不一定存在的