Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=[(an+1)/2]^2,，an>0,求数列{an}的通项公式.

Answer 1

sn=[(an+1)/2]^2
4sn=(an+1)^2
4a1=a1^2+2a1+1
a1^2-2a1+1=0
(a1-1)^2=0
a1=1
4s2=4(a1+a2)=(a2+1)^2
4+4a2=a2^2+2a2+1
(a2-1)^2=4
a2=3或a2=-1（舍去）
4s3=4(a1+a2+a3)=(a3+1)^2
4+12=(a3-1)^2
a3-1=±4
a3=5,a3=-3（舍去）
所以，a1=1,a2=3,a3=5
因此可以推测出an=1+(n-1)*2=2n-1
检验：
sn=(a1+an)*n/2=n^2=[(an+1)/2]^2
an=2n-1成立。

Answer 2

首项a1=S1=[(a1+1)/2]²
4a1=(a1+1)²
4a1=a²1+2a1+1
a²1-2a1+1=0
(a1-1)²=0
a1 - 1=0
a1=1

∵S(n+1)-Sn=a(n+1)
即：[(a(n+1)+1)/2]²-[(an+1)/2]²=a(n+1)
即：[a²(n+1)+2a(n+1)+1]/4 - (a²n+2an+1)/4 =a(n+1)
即：4a(n+1)=[a²(n+1)+2a(n+1)+1] - (a²n+2an+1)
即：a²n+2an+1=a²(n+1)-2a(n+1)+1
即：(an+1)²=[a(n+1)-1]²
即：(an+1)²-[a(n+1)-1]²=0
即：{(an+1)-[a(n+1)-1] } × {(an + 1)+[a(n+1)-1] }=0 (平方差)
即：[an-a(n+1)+2]×[an+a(n+1)]=0
∵an+a(n+1)＞0
∴an-a(n+1)+2=0，即a(n+1)-an=2
∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列
∴an=1+2(n-1)=2n-1