Question

大一微积分求极限的一道题目，本人不才，大二再看发现不会

Answer 1

方法一：
lim (5x²-2(1-cos²x))/(3x³+4tan²x)
=lim (5x²-2sin²x)/(3x³+4tan²x)
=5lim x²/(3x³+4tan²x)-2lim sin²x/(3x³+4tan²x)
=5M-2N
两个极限均分子分母颠倒来求
1/M=lim (3x³+4tan²x)/x²=lim 3x³/x²+lim 4tan²x/x²=4
1/N=lim (3x³+4tan²x)/sin²x=lim 3x³/sin²x+lim 4tan²x/sin²x=4
则，M=N=1/4
原极限=(5-2)/4=3/4

方法二：注意到分母中3x³是4tan²x的高阶无穷小，因此在本极限过程中，3x³不起作用，可直接去掉，这样本题变得非常简单
lim (5x²-2(1-cos²x))/(3x³+4tan²x)
=lim (5x²-2(1-cos²x))/(4tan²x)
分母用等价无穷小代换
=lim (5x²-2sin²x)/(4x²)
=5lim x²/(4x²)-2lim sin²x/(4x²)
=5/4-2/4
=3/4

Answer 2

可以用洛必达法则或者等价无穷小即可

Answer 3

解：如图