Question

在数列an中,a1=1,(n+1)an=(n-1)an-1(n>=2),Sn是an前n项和，则Sn=

Answer 1

写出前几项，猜想出an=2/(n*(n+1)),然后用数学归纳法证明猜想，证明过程相当简单。(也可以用递推法直接得到通项公式)
Sn=2*(1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1))=2(1-1/(n+1))
=2n/(n+1)
看好中间什么项消去就行了

Answer 2

sn=nan-2n(n-1),那么s(n-1)=(n-1)a(n-1)-2(n-1)(n-1-1)。
而sn是前n项和，所以an=sn-s(n-1)=nan-(n-1)a(n-1)-4(n-1)，化简得到an-a(n-1)=4，所以an是等差数列，公差为4.
因为a1=1，所以an=a1+4(n-1)=4n-3，将an代入sn的等式中，得到sn=n(4n-3)-2n(n-1)=2n^2-n