Question

如图，是一块含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径

Answer 1

如图，是一块含30°（即∠cab=30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边ab与量角器所在圆的直径mn恰好重合，其量角器最外缘的读数是从n点开始（即n点的读数为o），现有射线cp绕点c从ca的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到cb位置，在旋转过程中，射线cp与量角器的半圆弧交于e．
（1）当旋转7.5秒时，连接be，试说明：be=ce；
（2）填空：①当射线cp经过△abc的外心时，点e处的读数是
120°
．
②当射线cp经过△abc的内心时，点e处的读数是
90°
；
③设旋转x秒后，e点出的读数为y度，则y与x的函数式是y=
180-4x
．
考点：一次函数综合题．
专题：综合题．
分析：（1）由于是每次都旋转2°且cp的旋转决定着∠cae和∠abe，且二者都是从0°开始的，所以：∠cae=∠abe，只要证明：∠cbe=∠bce即可证明be=ce；
（2）①当射线cp经过△abc的外心时，cp经过ab的中心且此时有：co=ao，可以得出∠oca=∠cab=30°，即可求出点e处的度数；
②当射线cp经过△abc的内心时，内心到三边的距离相等，即cp为∠acb的角平分线，所以有∠abe=∠ace=45°，即可求出点e处的度数；
③由于每次旋转的度数一样，所以旋转x秒后，e点出的读数为y度，则y与x的函数式是：y=2x．
解答：（1）证明：连接be，如图所示：
∵射线cp绕点c从ca的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转
∴当旋转7.5秒时，∠cae=7.5×2°=∠abe=15°
又∵∠cab=30°，∠cba=60°，∠acb=90°
∴∠cbe=75°，∠bce=90°-15°=75°，即：∠cbe=∠bce=75°
∴be=ce．
（2）解：①当射线cp经过△abc的外心时，cp经过ab的中心且此时有：co=ao；
∴∠oca=∠cab=30°，∠aoe=60°
∴点e处的读数是120°．
②当射线cp经过△abc的内心时，即cp为∠acb的角平分线，
圆周角∠bce=
12×90°=45°，圆心角为90°，
∴点e处的读数是90°．
③设旋转x秒后，e点出的度数为y°，由题意得：
y与x的函数式是：y=180-4x（0＜x≤90）．
点评：解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，且由每次旋转的度数相等，由图得出相等的角，并掌握量角器的用法和对含有30°三角板的运用．

Answer 2

解答：
（1）证明：连接BE，如图所示：
∵射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转
∴当旋转7.5秒时，∠ACE=7.5×2°=∠ABE=15°
又∵∠CAB=30°，∠CBA=60°，∠ACB=90°
∴∠CBE=75°，∠BCE=90°-15°=75°，即：∠CBE=∠BCE=75°
∴BE=CE．
（2）解：①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中心且此时有：CO=AO；
∴∠OCA=∠CAB=30°，∠AOE=60°
∴点E处的读数是120°．
②当射线CP经过△ABC的内心时，即CP为∠ACB的角平分线，
圆周角∠BCE=
1
2
×90°=45°，圆心角为90°，
∴点E处的读数是90°．
③设旋转x秒后，E点出的度数为y°，由题意得：
y与x的函数式是：y=180-4x（0＜x≤90）．