Question

在三角形ABC中a，b，c分别是内角A,B,C的对边，且a=4，C=2A，cosA=3/4。求sin

Answer 1

（1）
因为cosA=3/4，根据sinA的平方+cosA的平方=1
解得sinA的平方=7/16
因为cosB=cos（π-A-C），又C=2A
即
cosB=cos（π-3A）
根据三角涵数诱导公式cos（π-a）=-cos
a
所以cosB=cos（π-3A）
=
-
cos3A
=
-
cos（2A+A）
=
-
（cos2AcosA-sin2AsinA）
=
-
[（2cosA的平方-1）cosA-2sinAcosAsinA]
=
-
[（2*（3/4）的平方-1）*3/4-2*sinA的平方*3/4]
=
-
（3/32-21/32）
=9/16
sinC=sin(A+B)=cosBsinA+cosAsinB
因为cosA和cosB已知
sinA和sinB
根据
sin2
x+cos2
x=1求
因为是三角形内角
所以为正
（2）
设角A所对的边为a，角B所对的边为b，角C所对的边为c
由正弦定理得：a/sinA=c/sinC
因为C=2A，即
a/sinA=c/sin2A
=c/2sinAcosA
约去sinA，把cosA=3/4代入原式，化简得：
（3/2）a=c……………………①
因为c向量*a向量=27/2
所以有｜a｜*｜c｜*cosB=27/2
所以｜a｜*｜c｜=（27/2）/（3/4）=24……………………②
结合①和②组成方程组，得：
（3/2）a=c
ac=24
解得a=4，c=6（负数舍去）
根据余弦定理可得：
b的平方=a的平方+c的平方-2ac
cosB
=4的平方+6的平方-2*24*3/4
=25
所以b=5（负数舍去）
所以AC=5