Question

高中函数题

函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x>1时，
f（x）=2x2-12x+16，则直线y=2与函数f（x）图像的所有交点的横坐标之和是多少？(2x2中后一个2是指数)

Answer 1

当x＞1时，f（x）=2x2-12x+16
横坐标x关于x=1的对称点是2-x
所以f(x)....(x<1)=-f(2-x)...(x>1)=-2(2-x)2+12(2-x)-16=-2x2-4x
后面的一样

追问

横坐标x关于x=1的对称点是2-x
为什么？

追答

设x1关于x=1的对称点是x2，∴(x1+x2)/2=1,
∴x2=2-x1

Answer 2

解：f（x+1）为奇函数，函数图象关于（0，0）对称
函数f（x）的图象关于（1，0）对称
当x＞1时，f（x）=2x2-12x+16
当x＜1时，f（x）=-2x2-4x
令2x2-12x+16=2可得x1+x2=6
令-2x2-4x=2可得x3=-1
横坐标之和为5

追问

当x＜1时，f（x）=-2x2-4x
为什么？

Answer 3

f（x+1）为奇函数，可得f(-x+1)=-f(x+1)，在等式f(-x+1)=-f(x+1)中，设t=x+1，则x=t-1，
所以f(2-t)=-f(t)，把t换成x，可得f(x)=-f(2-x)………①；当x>1时，f（x）=2x²-12x+16………②；
，2-x>1，把2-x代入②中得f(2-x)=2(2-x)²-12(2-x)+16=2x²+4x，
再由①可得f(x)=-f(2-x)=-2x²-4x，即x<1时，f(x)=-2x²-4x
当x>1时，f（x）=2x²-12x+16=2可得x=3±√2
当 x<1时，f(x)=-2x²-4x=2可得x=-1
∴ 直线y=2与函数f（x）图像的所有交点的横坐标之和为（3+√2）+（3-√2）+（-1）=5

Answer 4

考察数形结合 和 对称性 两个知识点！  注意查漏补缺

Answer 5

解：横坐标之和为5
当1<x<5时 f(x)的对称轴是3 在定义域域1<x<5内，当x=1时f(x)=6，当x=3时f(x)=—2
所以f(x)=2时x的值在1<x<5的范围内 所以两根相加等于6
f(x+1)为奇函数则x=1为f(x+1)的对称轴 x=3时y=-2 所以x=-1时y=2
所以加起来等于5