Question

已知函数f（x）=（x-a-1）（x-2a）．（Ⅰ）当a＞1时，解关于x的不等式...

已知函数f（x）=（x-a-1）（x-2a）． （Ⅰ）当a＞1时，解关于x的不等式f（x）≤0； （Ⅱ）若∀x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a＞1时，a-1＞0，2a＞a+1，
则不等式f（x）≤0的解为a+1≤x≤2a，
即不等式的解集为[a+1，2a]；
（II）解法1：当a=1时，2a=a+1，f（x）=（x-2）2，不符合题意．
当a＞1时，2a＞a+1，若∀x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，
则有a+1≤52a≥7解得72≤a≤4．
当a＜1时，2a＜a+1，若∀x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，
则有2a≤5a+1≥7a无解．
综上，实数a的取值范围是72≤a≤4．
解法2：f（x）=（x-2a）（x-a-1）的图象是开口向上的抛物线，
若∀x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，需且仅需f(5)≤0f(7)≤0，
解得52≤a≤472≤a≤6所以72≤a≤4．
故实数a的取值范围是72≤a≤4．