Question

已知随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)=A(R-根号下(x^2+y^2)),x^2+y^2<=R^2;f(x,y)=0，其他

1.求系数A
2.(X,Y)落入圆x^2+y^2<=r^2(r<R)内的概率

Answer 1

f(x,y)=A(R-√(x^2+y^2)),x^2+y^2<=R^2;f(x,y)=0，其他
由∫f(x,y)dx=1
得(AπR^3)/3=1,所以A=3/(πR^3)

(X,Y)落入圆x^2+y^2<=r^2(r<R)内的概率
即求f(x,y)在x^2+y^2<=r^2(r<R)区域积分的值
积分得：(X,Y)落入圆x^2+y^2<=r^2(r<R)内的概率=(r/R)^3

解毕

追问

由∫f(x,y)dx=1
得(AπR^3)/3=1
请问这步积分怎么积的啊？

追答

∫f(x,y)dx=1这个写错了，是二重积分，请看下面
∫∫f(x,y)dxdy=∫A(R-√(x^2+y^2))dxdy=∫∫ARdxdy-∫∫A√(x^2+y^2))dxdy=AπR^3-2/3*AπR^3=(AπR^3)/3（积分区域是x^2+y^2<=R^2）
其中∫∫A√(x^2+y^2))dxdy=A∫dθ∫r^2dr=2πA*R^3/3,（θ的积分上下限是2π和0，r的积分上下限是R和0）