Question

∫从0到正无穷te^(-t)(z-t)e^-(z-t)dt,z>0这个积分如何求?

Answer 1

你是打算计算分段函数 f(t)=te^(-t) t≥0
0 t<0
自身与自身的卷积吗？如果是的话，你这个积分是不对的，公式不是这么简单套的。

追问

猜对了一半，式子没错，原来是计算 f(t)f(z-t)的积分，上面的式子就是这个的展开式，我实在是摸不着头绪，请问怎么求啊？

追答

如果是算卷积，这个积分限是不对的，卷积的积分限原本是(-∞，+∞)，
卷积公式：∫[-∞-->+∞] f(t)f(z-t) dt
这里需要拆为三段来做(-∞,0)，(0,z)，(z,+∞)，
在(-∞,0)上，f(t)=0
在(z,+∞)上，由于t>z，则z-tz] te^(-t)(z-t)e^-(z-t) dt

抛开卷积，只算你的积分：∫[0-->+∞] f(t)f(z-t)dt结果也应该是∫[0-->z] te^(-t)(z-t)e^-(z-t) dt，因为z到+∞上第二个函数为0，不用积的。

追问

哦，您说的这些看明白了，但这一步∫[0-->z] te^(-t)(z-t)e^-(z-t) dt到底怎么积的分啊，感觉很复杂，因为积分变量多次出现，而且位置不一，再次麻烦您了

追答

这个积分应该不难吧？e^(-t)*e^-(z-t)=e^z，而e^z就与积分变量无关了，可以提出去。
当z>0时
∫[0-->z] te^(-t)(z-t)e^-(z-t) dt
=∫[0-->z] t(z-t) e^(-z) dt
= e^(-z)∫[0-->z] (tz-t²) dt
= e^(-z)(1/2t²z-1/3t³) [0-->z]
= 1/6z³e^(-z)
当z<0时，无论t在什么范围，f(t)与f(z-t)中必有一个是0，因此积分结果为0.

Answer 2

asdfasdfasdfa