Question

高数，哪里不对吗？

Answer 1

红色标记不正确！必须在其前面添加

lim x趋向0。红色部分对一般x是不成立的，只是在x趋向0才成立！

不能把特殊情况当一般结论来用！

Answer 2

应该用微分方程求解。
f(x)=∫(0,3x)f(t/3)dt十e^2x
f(x)=3∫(0,3x)f(t/3)d(t/3)十e^2x
设u=t/3，u=0～x
f(x)=3∫(0,x)f(u)du十e^2x
设g(x)=∫(0,x)f(u)du
g'(x)=f(x)，代入:
g'(x)=3g(x)十e^2x
齐次:
g'(x)=3g(x)
g'(x)/g(x)=3
积分:
lng(x)=3x十C1
g(x)=De^3x
求特解，设特解g(x)=Ce^2x
2Ce^2x=3Ce^2x十e^2x
2C=3C十1
0=C十1，C=-1
g(x)=De^3x-e^2x
f(x)=g'(x)=3De^3x-2e^2x
f(0)=1
1=3D-2
D=1
f(x)=3e^3x-2e^2x