Question

函数极限中的ε为什么可以任意给定？

Answer 1

拿数列极限来讲
lim
xn=a:
对于任意的ε>0,
存在正整数n，当n>n时，有|xn-a|<ε
定义指的是对于给定的任意一个正数ε，都能找到数列项的一个限制n，当数列从第n+1项开始，有xn落在a的ε邻域中
那么对于ε而言，如果取ε1<ε2,则可知u(a,ε1)包含于u(a,ε2)，其中u(a,ε1)表示a的ε1邻域。
所以对于小的ε1而言，如果能找到n了，那么从数列的第n+1项开始xn全都落在u(a,ε1)，自然也就落在了u(a,ε2)，因此此时的n也就适用于大的ε2
所以在证明的时候，能说明0
<ε
n时，有|xn-a|<ε,
那么对于ε≥c的部分也就自然而然都成立了。
希望对你有帮助，不懂还可以追问！