Question

已知圆C：(X-1)²+（y-2）²=25直线（2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0，

Answer 1

（1）
直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0
即m(2x+y-7）+（x+y-4)=0
由{2x+y-7=0
{x+y-4=0
解得a(3,1)
那么直线l恒过定点a(3,1)
圆c：（x-1)^2+(y-2)^2=25
a(3,1)代入(3-1)^2+(1-2)^2<25
a在圆c内部.
因此不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点。
（2）
直线被圆c截得的弦长取得最小值时，
弦的中点为a(3,1),此时
ac⊥l。
圆心
c(1,2),
ac的斜率k'=(2-1）/(1-3)=-1/2
∴l的斜率k=-1/k'=2
∴l的方程为y-1=2(x-3)
即2x-y-5=0

Answer 2

把直线整理一下，得到，
(x+y-4)+m(2x+y-7)=0
可以看出无论m取何值，直线总是恒过定点(3,1)
(3,1)这点在圆的内部，直线恒过圆内一点，所以相交
最长的弦是过圆心，最短的弦是(3,1)是弦的中点
最长弦是10，最短弦自己算吧