Question

0*1+1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+......+(n-1)*n=?

Answer 1

0*1+1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+......+(n-1)*n
=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+......+(n-1)*n
若n为奇数；
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6.......n(n+1）
=2×(1+3)+4×(3+5)+...+(n-1)×(n-2+n)+n(n+1)
=2×4+4×8+..+(n-1)×2(n-1)+n(n+1)
=2×[2^2+4^2+...+(n-1)^2]+n^2+n
=8×[1^2+...+(n-1)^2/4]+n^2+n 注：1^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
=n(n-1)(n+1)/3+n^2+n
=n^3/3+n^2+2n/3
若n为偶数；
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6.......n(n+1）
=2×(1+3)+4×(3+5)+...+n×(n-1+n+1)
=2×[2^2+4^2+...+n^2]
=8×[1^2+...+n^2/4]
=n(n+1)(n+2)/3
=n^3/3+n^2+2n/3
综上：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6.......n(n+1）=n^3/3+n^2+2n/3。

Answer 2

解：
0*1+1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+......+(n-1)*n
=（1^2-1）+（2^2-2）+（3^2-3）…+（n^2-n）
=（1^2+2^2+…+n^2）-（1+2+3+…+n）
=n(n+1)(2n+1)/6-n（n+1）/2
=（n^3-n）/3

Answer 3

楼上的做的太复杂了 这个题目其实很简单的。
0*1+1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+......+(n-1)*n
=1^2+2^2+...+n^2-1-2-3-...-n
=n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2
=n(n+1)(2n+1-3)/6
=n(n+1)(n-1)/3