Question

已知a,b,c均为实数，证明ac<0是关于x的方程ax的平方+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件

Answer 1

其实这题是利用
根与系数的关系
来证明的。
证明：
充分性：因为ac<0，所以a和c异号，不妨设方程ax的平方+bx+c=0的俩个根为x1和x2，则由根与系数的关系可知，x1*x2=c/a
,因为a和c异号，故x1*x2<0，也就是说x1与x2异号，即方程有一正根和一负根。
必要性：因为方程ax的平方+bx+c=0有一正根和一负根，不妨设他们为x1和x2，则由根与系数的关系可知，x1*x2=c/a<0，故a和c异号，即ac<0，证毕。

Answer 2

先证“充分性”。
即证：ac＜0→关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一个负根。
首先，判别式δ=b^2-4ac＞0，
所以方程有两个不相等的实数根。
设为x1,x2,则x1*x2=c/a＜0，
所以方程ax2+bx+c=0有一正根和一个负根。
再证“必要性”。
即证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一个负根→ac＜0。
设方程的两根是x1,x2,
因为x1x*＜0，且x1x2=c/a,
所以c/a＜0，即ac＜0。
综上，命题得证。