Question

已知数列an是公差不为0的等差数列，a1=2且a2、a4、a8成等比数列.

1.求数列an的通项公式;2求数列an●3^an的前n项和。求详细过程，谢谢了。

Answer 1

a4^2=a2a8 (a1+3d)^2=(a1+d)(a1+7d)，a1=2代入，整理，得
d(d-2)=0
d=0(舍去)或d=2
an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n
n=1时，a1=2，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2n
an×3^n=2n×3^n
Sn=2(1×3^1+2×3^2+...+n×3^n)
3Sn=2[1×3^2+2×3^3+...+(n-1)×3^n+n×3^(n+1)]
Sn-3Sn=-2Sn=3^1+3^2+3^3+...+3^n-n×3^(n+1)=3(3^n-1)/(3-1)-n×3^(n+1)
Sn=3(1-3^n)/4+n×3^(n+1)/2=(3/4) -3^(n+1)/4+n×3^(n+1)/2

Answer 2

a4^2=a2a8
(a1+3d)^2=(a1+d)(a1+7d)
2a1d-2d^2=0
a1=2代入，整理，得
d(d-2)=0
d=0(已知公差不为0，舍去)或d=2
an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n
数列{an}的通项公式为an=2n
an*3^(an)=2n*3^(2n)=2n*9^n
Sn=2*9^1+4*9^2+...+2n*9^n
9Sn=2*9^2+4*9^3+....+2n*9^(n+1)
Sn-9Sn=2*9^1+2*9^2+2*9^3+...-2n*9^(n+1)
-8Sn=2*9*(9^n-1)/(9-1)-2n*9^(n+1)
Sn=-9/32*9^n-9/4+9/4n*9^n

Answer 3

解，(1)a2,a4,a8成等比数列
所以a4的平方=a2乘以a8
将a2,a4,a8都转化为已知项a1的关系式
（a1+3d)^2=(a1+d)(a1+7d)
化简解得d=2或d=0(舍）
所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)*2=2n
(2)第2问用错位相减法