Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知a=2,A=派／3， （1）若|AB向量+AC向量|=2√3，试判定...

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知a=2,A=派／3， （1）若|AB向量+AC向量|=2√3，试判定△ABC的形状 （2）若sin A +sin (B -C )=2sin 2C ，求△ABC面积
证明，B1D1 垂直AP

Answer 1

|AB＋AC|=2√3，则：|AB＋AC|²=12，即：c²＋2bccosA＋c²=12，因A=π/3，则：b²＋bc＋c²=12，又：a²=b²＋c²－2bccosA=b²＋c²－bc，即：b²－bc＋c²=4，及b²＋bc＋c²=12，得：bc=4，b²＋c²=8，所以b²－2bc＋c²=0即(b－c)²=0，所以b=c，则a=b=c=2，三角形为正三角形。
sinA＋sin(B－C)=2sin2C，sin(B＋C)＋sin(B－C)=2sin2C，两角和差展开等号左侧，得：2sinBcosC=4sinCcosC，①cosC=0，此时，C=90°，A=60°，a=2，则b=2/√3，S=(1/2)ab=2√3/3；②若cosC≠0，则sinB=2sinC，因A=60°，所以sinB=2sin(120°－B)=√3cosB＋sinB，得：B=90°，因A=60°，所以C=30°，c=a/√3=2/√3，S=(1/2)ac=2√3/2。综合，三角形面积是2√3/3