Question

1.设随机变量X，Y相互独立，且都服从正态分布N（0，σ^2），求Z=（X^2+Y^2）^0.5的概率密度，期望和方差。

Answer 1

用分布函数法求概率密度
F(z)=P(Z<=z)=P{（X^2+Y^2）^0.5<=z}
当z<0时，F(z)=0
当z>=0时，F(z)=P{X^2+Y^2<=z^2}
F(z)=P{X^2+Y^2<=z^2}=(2πσ^2)^(-1)∫∫e^[-(x^2+y^2)/(2σ^2)]dxdy,积分区域是X^2+Y^2<=z^2
积分得：F(z)=1-e^[-z^2/(2σ^2)]
求导得Z的概率密度：f(z)=(z/σ^2)*e^[-z^2/(2σ^2)],z>=0；f(z)=0,z<0
期望E(Z)=∫zf(z)dz=∫z(z/σ^2)*e^[-z^2/(2σ^2)]dz=σ*√(π/2),积分区域是z>0
E(Z^2)=∫z^2f(z)dz=∫z^2(z/σ^2)*e^[-z^2/(2σ^2)]dz=2σ^2,积分区域是z>0
方差D(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2=[(4-π)/2]*σ^2

Answer 2

这个貌似是均值为0的瑞利分布
利用求概率密度的公式去计算吧
期望是σ*sqrt（π/2），方差是σ^2*（4-π）/2