Question

已知0<x<1/3，求函数y=x(1-3x)的最大值【基本不等式】

Answer 1

解：
∵0＜x＜1/3，∴1－3x＞0
【方法1】
y＝x(1－3x)＝1/3•3x•(1－3x)≤1/3[
(
3x＋(1－3x)
)/2
]²＝1/12
当且仅当3x＝1－3x，即x＝1/6时，取等号
∴当x＝1/6时，函数取得最大值1/12
【方法2】
∵0＜x＜1/3，∴1/3－x＞0
∴y＝x(1－3x)＝3•x(1/3－x)≤3[
(
x＋(1/3－x)
)/2
]²＝1/12
当且仅当x＝1/3－x，即x＝1/6时，等号成立
∴当x＝1/6时，函数取得最大值1/12

Answer 2

y=x（1-3x）=1/3*3x（1-3x）≤1/3*（3x+1-3x）²/4=1/3*1/4=1/12
所以函数的最大值为1/12
当3x=1-3x时，取最大值，即x=1/6，取最大值1/12

Answer 3

x<1/3,则3x-1<0.即1-3x>0
∴y=x(1-3x)=1/3*3x*(1-3x)≤(1/3)*{[3x+(1-3x)]/2}²=1/12
当且仅当1-3x=x，即x=1/4时取等号
故最大值为1/12