Question

求微分方程y''+3y'+2y=(x^2+5x+2)e^(-x)的通解

Answer 1

解：∵齐次方程y''+3y'+2y=0的特征方程是r²+3r+2=0，则r1=-1，r2=-2
∴齐次方程y''+3y'+2y=0的通解是y=C1e^(-2x)+C2e^(-x)
(C1,C2是积分常数)
∵设原方程的一个解为y=(Ax³+Bx²+Cx)e^(-x)
代入原方程，并化简整理得[3Ax²+(6A+2B)x+(2B+C)]e^(-x)=(x²+5x+2)e^(-x)
==>A=1/3，B=3/2，C=-1
∴原方程的一个解是y=(x³/3+3x²/2-x)e^(-x)
故
原方程的通解是y=C1e^(-2x)+C2e^(-x)+(x³/3+3x²/2-x)e^(-x)
(C1,C2是积分常数)。

Answer 2

特征方程r^2＋2r＋3＝0，根是－1±√2i
对应的齐次方程的两个特解是y1＝e^(-x)cos(√2x)，y2＝e^(-x)sin(√2x)
齐次方程的通解是y＝c1y1＋c2y2＝e^(-x)[c1cos(2x)＋c2sin(√2x)]
设非齐次方程的一个特解y*＝ax+b，代入原方程得a＝1/3，b＝－2/9，所以y*＝x/3－2/9
所以原方程的通解是y＝x/3－2/9＋e^(-x)[c1cos(2x)＋c2sin(√2x)]