Question

可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程y''=f(y,y')型
y''+y'^2+1=0;（答案y=|cos(x+c1)|+c2)
y*y''-y'^2-1=0;(答案y=[e^(c1x+c2)+e^(-c1x-c2)])
另外还有一些题最好也有步骤
（x+c)^2+y^2=1求以此式为通解的微分方程.

Answer 1

第一题：
令p=y',那么y"=dp/dx=(dp/dy)/(dx/dy)=pdp/dy
原式就转为：p(dp/dy)+p²+1=0
整理得到p关于y的伯努利方程：(dp/dy)+p=1/p
再令z=p²,那么dz/dy=d(p²)/dy=2pdp/dy
代入上式整理得：dz/dy+2z+2=0
分离变量解得：ln|z+1|=-2y+M………………M为任意常数
两边取为e的指数,得到：z+1=Nexp(-2y)………………N=expM为大于零的任意常数
将z=p²=(y')²代入上式,直接分离变量就能得出结果,具体结果就留给你自行计算了.
第二题：
同上题原理,令p=y',那么y"=dp/dx=(dp/dy)/(dx/dy)=pdp/dy
原式就转化为：py(dp/dy)-p²-1=0
同样令z=p²,再将上式简化为：ydz/dy-2z-2=0
同样分离变量解得：ln|z+1|=2ln|y|+M
两边取为e的指数,得到：z+1=Ny²
后面的步骤类似方法处理.
第三题：
逆推求方程的关键是消去解中的任意常数C,观察已知解中仅有一个常数,那么所求方程必定为一阶微分方程,先对方程两端关于x求导得到：
2(x+C)+2yy'=0
即x+C=-yy'
将上式代回原式得到：(yy')²+y²=1
整理得到：(y')²+1=1/y²