Question

幂级数求和函数，∑（N=1 ∞)x^2n-1=x/(1-x^2) ，这步中的分子x不明白，我做的是1/x，请指教

Answer 1

幂级数的公式中n一般是从0开始的，你有没注意到本题的n是从1开始的，所以要套幂级数公式需先提出一个x，我想你一定是在级数外乘了个(1/x)，级数里乘了个x，这是不对的，因为这样你的下标就不是从0开始了。

正确做法，提x出来，xΣ（n=1 ∞) x^(2n-2)=xΣ（n=0 ∞) x^(2n)=x/(1-x²)

追问

我有两点不明白：1，所以要套幂级数公式需先提出一个x，提x出来跟下标从1开始的关系不明白；2，x^(2n-2)到 x^(2n）还有一个x^-2的消失，我没明白。另：幂级数下标n从0开始，要做的题目是从1开始，要套幂级数公式的话，就得在要做的题目中增加n=0项，这在计算过程中，什么时候体现呢？数学太差，请谅解。

追答

第一个问题
Σ(n=0-->∞) x^n=1/(1-x)，这个我想你是知道的吧？
那我现在问你，如果换成Σ(n=1-->∞) x^n，它还与1/(1-x)相等吗？
答案是不等，因为这个n是从1开始的，也就是比原来的级数少了一项。
所以需要把x提出去。

第二个问题
xΣ（n=1 ∞) x^(2n-2)=xΣ（n=0 ∞) x^(2n)
你没注意到等式左边n是从1开始，右边n是从0开始吗？
举个简单的例子
x+x²+x³+...
如果n从0开始就是Σ（n=0 ∞) x^(n+1)
如果n从1开始就是Σ（n=1 ∞) x^n

追问

我理解的，这两个是相等的(即两边的式子表达的是一个级数)，∑（N=1 ∞)x^2n-1=xΣ（n=0 ∞) x^(2n-1+1)，不知道对不对？请指教。

追答

这回是对的。其实这种题如果你拿不准，就把第一项算一下，一般就看出来了。