Question

复数证明题

Answer 1

复数的模和辅角的形式有个公式：
若z=r(cosa+sina)，则z^n=r^n(cos(na)+sin(na))
这道题就是用这个公式做，具体的：
（1）z^n
=
1
，写成模和辅角的形式，所以
z^n=1(cos（0+2kπ）+sin(0+2kπ)），即
z=（cos（0+2kπ）+sin(0+2kπ)）^(1/n)，
所以z=cos（2kπ/n）+sin(0+2kπ)，所以得n个根k分别取0，1，2，...n-1.
令k=1时为ω，则k=2，3，4。。。n-1时由公式可知为
ω^2,
ω^3,
....,ω^n-1
（2）z^n=1,则z^n-1=0,即
（z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)+z^(n-3)+.....+z^2+z^1+1)=0
所以
z-1=0
z^(n-1)+z^(n-2)+z^(n-3)+.....+z^2+z^1+1=0其中z=ω
即1
+
ω
+
ω^2
+
ω^3
+
....+ω^n-1
=
0