Question

已知椭圆x^2/16+y^2/4=1.过点P(2,1)引一条弦，使弦被这点平分，求此弦所在的直线的方程和弦长。

Answer 1

设P点与椭圆交于两点A(x1,y1)B(x2,y2)
两点坐标带入椭圆方程
x1^2/16+y1^2/4=1
x2^2/16+y2^2/4=1
两式相减，(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/4(y1+y2)=-2*2/(4*2*1)=-1/2
AB方程点斜式为y-1=-(x-2)/2
x+2y-4=0
将y=-x/2+2带入椭圆方程
2x^2-8x=0
x=0或4
|AB|=√(k^2+1)|x1-x2|=2√5

Answer 2

一样的题目,参考一下吧:
p(1,1)为椭圆x^2/4+y^2/2=1内的一定点,过p点引一弦,与椭圆相交于a、b,且p恰为弦ab的中点，求ab的直线方程
设a,b坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)
代入得:
x1^2/4+y1^2/2=1
x2^2/4+y2^2/2=1
二式相减得:
(x1+x2)(x1-x2)/4+(y1+y2)(y1-y2)/2=0
又x1+x2=2*1=2,y1+y2=2
即:2(x1-x2)/4+2(y1-y2)/2=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2
即ab的斜率是-1/2
那么方程是:y-1=-1/2(x-1)
化简得:x+2y-3=0