Question

设f(x)=∫(上限x 下限0) sint/(π-t) dt , 计算 ∫(上限π 下限0) f(x) dx

答案是：2

Answer 1

本题两种做法，一种是用二重积分交换积分次序来做，另一种是定积分分部积分，我用后一种
f '(x)=sinx/(π-x)
∫(0-->π) f(x) dx
=xf(x)-∫(0-->π) xf '(x) dx
=πf(π)-∫(0-->π) xsinx/(π-x) dx
由f(π)=∫(0-->π) sint/(π-t) dt
=π∫(0-->π) sint/(π-t) dt-∫(0-->π) xsinx/(π-x) dx
积分变量可随便换字母
=π∫(0-->π) sinx/(π-x) dt-∫(0-->π) xsinx/(π-x) dx
=∫(0-->π) (π-x)sinx/(π-x) dx
=∫(0-->π) sinx dx
=-cosx |(0-->π)
=2