Question

t属于R，f(x)=4-2t-2tcosx-sin²x的最小值为g(t),求g(t)的表达式

Answer 1

解：∵f(x)=4-2t-2tcosx-sin²x=4-2t-2tcosx-(1-cos²x)=cos²x-2tcosx+3-2t=(cosx-t)²+3-2t-t²

可看成是关于cosx的二次函数，对称轴为cosx=t。

又∵-1≤cosx≤1

∴(1)当-1≤t≤1，当cosx=t时，f(x)取最小值2-2t

即g(t)=3-2t-t²

(2)当t＞1时，根据二次函数图像性质，f(x)在对称轴cosx=t左侧单调递减，

∴当cosx=1时，f(x)取最小值，

即g(t)=1-2t+3-2t=4-4t

(3)当t＜-1时，根据二次函数图像性质，f(x)在对称轴cosx=t右侧侧单调递增

∴当cosx=-1时，f(x)取最小值，

即g(t)=4