Question

已知椭圆M：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为2√

已知椭圆M：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为2√2/3,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2，设直线l与椭圆交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求三角形ABC面积的最大值
求速度解答。

Answer 1

因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2，
2a+2c=6+4√2，
e=2√2／3，即c／a=2√2／3，所以c=2√2／3a
a=3，c=2√2．b=1，
椭圆Mx2／9+y2=1
设直线ABx=ky+m．
x=ky+m，x2／9+y2=1
（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有y1+y2=-2km／k2+9，y1y2=m2-9／k2+9．
以AB为直径的圆过点C，
CA•CB=0．
CA=(x1-3，y1)，CB=(x2-3，y2)，
（x1-3）（x2-3）+y1y2=0．
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
（k2+1）y1y2+k（m-3）（y1+y2）+（m-3）2=0．
m=12／5或m=3（舍）
S△ABC=1／2|DC||y1-y2|=1／2×3／5√(y1+y2)2-4y1y2
=9／5√25(k2+9)-144／25(k2+9)2．
设t=1／k2+9，0＜t≤1／9，则S△ABC=9／5√-144／25•t2+t．
当t=25／288∈(0，1／9]时，S△ABC取得最大值3／8