Question

怎么证明奇函数的导数是偶函数

Answer 1

假设函数f(x)是奇函数可得f(－x)=－f(x)。对等式两边同时求导，得到[f(－x)]'=[－f(x)]'、f'(－x)×(－x)'=－f'(x)、－f'(－x)=－f(x)。最后得到f'(－x)=f'(x)，得到f'(x)是偶函数。所以奇函数的导数的偶函数。

奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。

1727年，年轻的瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文（原文为拉丁文）中，首次提出了奇、偶函数的概念 。

奇函数的性质：

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

5、当且仅当（定义域关于原点对称）时，既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。

以上内容参考：百度百科-奇函数

Answer 2

设函数f(x)是奇函数，即：f(－x)=－f(x)
两边求导，得：
[f(－x)]'=[－f(x)]'
f'(－x)×(－x)'=－f'(x)
－f'(－x)=－f(x)
即：f'(－x)=f'(x)，则f'(x)是偶函数。
所以奇函数的导数的偶函数。

Answer 3

设
f(x)为可导的偶函数。f(x)=f(-x)
g(x)为f(x)的导函数。
对于任意的自变量位置
x0
g(x0)
=
lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx
g(-x0)
=
lim[f(-x0+dx)-f(-x0)]/dx
=
lim[f(x0-dx)-f(x0))/dx
f(x)可导，其左右导数相等。
即：lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx
=
lim[f(x0)-f(x0-dx)]/dx
上面这个等式中，左端就是
g(x0)的表达式，而右端即为
-g(-x0)的表达式。
即
g(x0)
=
-
g(-x0)
x0
具备任意性，因此
g(x)
=
-
g(-x)
即在
f(x)是可导偶函数前提下，其导函数是奇函数。求证命题成立。