Question

lim(n趋向无穷)（1/根号(4n^2+1)+1/根号(4n^2+2)+…

+1/(根号4n^2+n)用夹逼准则为什么选的是n/根号4n^2+n,n/根号4n^2+1

Answer 1

原式一共有 n 项，将每一项的分母放大到所有分母中的最大值 √4n²+n，则所有分式之和小于 n 个 1/√(4n²+n)，即 n/√(4n²+n)
将每一项的分母缩小到所有分母中的最小值 √4n²+1，则所有分式之和大于 n 个 1/√(4n²+1)，即 n/√(4n²+1)
(n->∞) lim n/√(4n²+n)＜(n->∞)lim1/√(4n²+1)+1/√(4n²+2)+1/√(4n²+3)+...+1/√(4n²+n)＜(n->∞)limn/√(4n²+1)
(n->∞) lim n/√(4n²+n)=(n->∞)lim1/√(4+1/n)=1/2
(n->∞) lim n/√(4n²+1)=(n->∞)lim1/√(4+1/n²)=1/2
所以 (n->∞)lim1/√(4n²+1)+1/√(4n²+2)+1/√(4n²+3)+...+1/√(4n²+n)=1/2
夹逼准则要求进行适当的放大或缩小，使两端的极限值相等，从而确定中间项的极限值。如果放大得太大，缩小得太小，最后求出两端的极限值不相等，就无法使用夹逼准则了。因此要把握缩放的尺度，才能恰到好处。