Question

两道二重积分的计算题(有点难） 有详细过程

Answer 1

d的区域可进一步化简为圆1：x^+y^≥2的外侧部分与圆2：x^+(y-1)^≤1的内侧部分的公共部分，由图可知此区域为在圆1上方的园2部分，而圆1的极坐标方程为r=√2,圆2的极坐标方程为r=2sinθ,两圆的交点坐标可求出为（1，1）和（-1，1），极坐标表达为（√2，π/4）和（√2，3π/4）由图对二重积分做极坐标变换：
∫∫(d)2ydxdy=∫2sinθdθ(θ下限为π/4,上限为3π/4)*∫r*rdr（r下限是√2，上限是2sinθ）
其中后一项r的积分进一步化简：
∫r^dr（r下限是√2，上限是2sinθ）
=(r^3)/3（r下限是√2，上限是2sinθ）
=8(sinθ^3)/3
-2√2/3
于是原二次积分转化为：
(16/3)*∫(sinθ^4)dθ
-(4√2/3)∫sinθdθ
(两项中θ都是下限为π/4,上限为3π/4)
重点是前一项的积分，可通过对sin^+cos^=1，sin2x=2sinx*cosx以及cos2x=1-sin^x这三个重要的三角公式对其进行变化，最终可得出前一项的值为π+8/3
后一项更好求了，为-8/3
于是两项和为π