Question

极限的等价无穷小问题

请问limx(x--0)(xinx-tanx)/x^3为什么不能limx sinx/x^3 - limx tanx/x^3 而limx(x--0)(x²-sinx)/x可以写成lim x²/x - lim sinx/x 这个无穷小到底怎么用

Answer 1

看图

参考资料：

面向21世纪课程教材《微积分》同济大学应用数学系 编

高等教育出版社

追问

三价的带有佩亚诺余数的麦克劳林公式
看到这句 我湿了。。。

追答

你的追问我不明白，请说普通话

追问

0.0 不好意思 我是想说看见这么长这么拗口的句子不禁泪流满面啊！！！
数学初学者啊 根本不懂什么佩什么什么麦克什么什么的公式
能不能用通俗易懂的说法说下 我的是同济版高数 上面说 乘除可以换，加减不可以换
请问这句话什么意思 实在不理解 请详细解释下最好带例题的 多谢

追答

相关内容在同济高数第五版第三章第三节泰勒公式（第139--140页）
不过没有像上面图中那样单独列出，而是夹杂在例题中了。

第五版第一章第七节无穷小的比较（第56--57页）
还是以你的问题为例，
sin x 与 x 是同阶无穷小，且sin x 等价于 x
tan x 与 x 是同阶无穷小，且tan x 等价于 x
但是 sin x - tan x 是关于 x 的3阶无穷小，sin x - tan x 等价于 x^3 /2

加减法之后，无穷小的阶数变了
而乘除法不会改变无穷小的阶数

Answer 2

你发现没，如果你将sinx替换成x，tanx替换成x，那么sinx-tanx就趋近于0，,再看看分母，x^3在x趋近于0的时候x^3也趋近于0，那么0/0，你怎么确定他的极限是多少呢？

Answer 3

你好，tanx-sinx~x^3/2
x-sinx~x^3/6
tanx-x~x^3/3
这3项是3阶无穷小的等价替代公式，请牢记。虽然分开也行，但反见到这3项就用上述我说的3个等价替代式。不会有错的，请牢记，谢谢