Question

试证导函数不存在第一类间断点

Answer 1

设f(x)在(a,b)可导,x0属于（a,b)是f`(x)的间断点.反证法,若为第一类间断点f`(x)在x0点的右极限为A+,左极限为A-推出f(x)在x0点的右导数为A+,左导数为A-又因f(x)在x0点的导数存在,所以左导数等于右导数等于f`(x0)推出f`(x)在x0点的极限等于f`(x0)推出f`(x0)在x0点连续与已知矛盾,所以不存在第一类间断点

Answer 2

设f(x)在(a,b)可导，x0属于（a,b)是f`(x)的间断点。
用反证法:
若为第一类间断点f'(x)在x0点的右极限为A+，左极限为A-
推出f(x)在x0点的右导数为A+，左导数为A-
又因f(x)在x0点的导数存在，所以左导数等于右导数等于f'(x0)
推出f'(x)在x0点的极限等于f'(x0)
推出f'(x0)在x0点连续与已知矛盾，
所以不存在第一类间断点

Answer 3

第一类间断点（左右极限都存在）有以下两种
1跳跃间断点
间断点两侧函数的极限不相等
2可去间断点
间断点两侧函数的极限存在且相等
函数在该点无意义
第二类间断点（非第一类间断点）也有两种
1振荡间断点
函数在该点处在某两个值比如-1和+1之间来回振荡
2无穷间断点
函数在该点极限不存在趋于无穷

Answer 4

若为第一类间断点f'(x)在x0点的右极限为A+，左极限为A-
推出f(x)在x0点的右导数为A+，左导数为A-
此处有证明逻辑错误,在证明过程中使用了命题本身,导数在一个点的左右极限并不能得出导数在改点的值(也就是导数的左右极限)。错在了因果倒置,正确方法应该是使用拉格朗日中值定理得出f(x)在x0点的左右导数等于f'(x)在x0点的左右极限。

Answer 5

我把660上的证明拿上来了：设f(x)在(a,b)可导，x0属于（a,b)是f`(x)的间断点。反证法，若为第一类间断点f`(x)在x0点的右极限为A+，左极限为A-推出f(x)在x0点的右导数为A+，左导数为A-又因f(x)在x0点的导数存在，所以左导数等于右导数等于f`(x0)推出f`(x)在x0点的极限等于f`(x0)推出f`(x0)在x0点连续与已知矛盾，所以不存在第一类间断点PS:f`(x)是指f(x)的导数，怕有人看不清......好累