Question

已知a,b,c分别是三角形ABC的三边长,且(a-b)/b=(b-c)=(c-a)/a,试想三角形是哪种三角形，说明理由

Answer 1

由(a-b)/b=(c-a)/a，两边加1得到：a/b=c/a 即 a²=bc
由(a-b)/b=(b-c)，得到 a-b=b(b-c)=b²-bc=b²-a²=(b-a)(b+a)
即 (b-a)(b+a+1)=0
所以 b=a
因此 b-c=(a-b)/b =0 得到 b=c
所以三角形是等边三角形。

Answer 2

(a-b)/b=(b-c)/c=(c-a)/a

有a>0,b>0,c>0

如果(a-b)/b=(b-c)/c=(c-a)/a>0
则a>b>c>a
矛盾

同样的
如果(a-b)/b=(b-c)/c=(c-a)/a<0
则a<b<c<a
矛盾

只能(a-b)/b=(b-c)/c=(c-a)/a=0
故a=b=c
等边三角形
显然

Answer 3

(a-b)/b=(b-c)/c=(c-a)/a
a/b -1=b/c -1 =c/a -1
所以，a/b=b/c=c/a,设a/b=b/c=c/a=k
则a=bk，b=ck，c=ak
那么a=bk=ck²=ak³
由于a≠0，两边消去，那么k³=1，解得k=1
所以a=b=c，即等边三角形

Answer 4

等边啊，把那个等式拆成三个，互相叉乘，化简

Answer 5

a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0
a²-ab+b²-bc+c²-ca=0
2a²-2ab+2b²-2bc+2c²-2ca=0
a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²=0
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0
a-b=0，b-c=0，c-a=0
a=b=c
三角形ABC是等边三角形