Question

设抛物线y2=2px(p>0)上一点(4,t)到焦点的距离为5。 1,求p和t。

2，若直线y=2x+b被抛物线截得的弦长为3根号5，求b
3，求抛物线上的动点m到定点A（m，0）的最短距离
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Answer 1

设抛物线y²=2px(p>0)上一点(4，t)到焦点的距离为5。 (1),求p和t；(2)，若直线y=2x+b被抛物线截得的弦长为3√5，求b；(3)，求抛物线上的动点M到定点A（m，0）的最短距离
解：(1) 焦点(p/2，0)；点(4，t)到焦点的距离=√[(4-P/2)²+t²]=5，即有：
(4-p/2)²+t²=25............(1)
t²=8p..........................(2)
(2)代入(1)式并化简得p²+16p-36=(p-2)(p+18)=0，故得p=2，t=4.
(2).将p=2代入抛物线方程得 y²=4x...........(3)
再将y=2x+b代入(3)式得：(2x+b)²=4x；展开化简得4x²+4(b-1)x+b²=0.
设直线与抛物线的交点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则；
弦长︱AB︱=(√5)√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=(√5)√[(b-1)²-b²]=(√5)√(-2b+1)=3√5
化简得(1-2b)²=9，即有4b²-4b-8=0，b²-b-2=(b-2)(b+1)=0，故b₁=2(舍去)；b₂=-1.
(如果b=2，则直线y=2x+2与抛物线无交点，因为方程4x²+4x+4=0的判别式Δ<0)
即只有唯一解b=-1.
(3).设抛物线上的动点M的坐标为(x，2√x)，M到A(m，0)的距离为d，则
d=√[(x-m)²+4x]=√[x²-2(m-2)x+m²]=√{[x-(m-2)]²-(m-2)²+m²}
=√{[x-(m-2)]²+4m-4}≧√(4m-4)=4√(m-1)
当且仅仅当x=m-2时等号成立(m≧2)。即抛物线上的动点M到A(m，0)的最短距离dmin=2√(m-1).
若m<2，则dmin=︱m︱.

Answer 2

1.根据抛物线定义，到焦点距离等于到准线距离（x+p/2），4+p/2=5,p=2，y²=4x——①
(4,t)带入①，t²=16，t=±4

2.再将y=2x+b代入①式得：(2x+b)²=4x；化简得4x²+4(b-1)x+b²=0
抛物线弦长︱AB︱=(√5)√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=(√5)√[(b-1)²-b²]=(√5)√(-2b+1)=3√5
b=-1，或b=2，√(-2b+1)有意义，b≤1/2，因此b=1

3.当m＜2时，A点在抛物线焦点左边，此时，动点M为原点时，距离最短，d=|m|
当m≥2时，A与M连线与M点的切线垂直时，此时，距离最短
y2=4x求导，2yy'=4，y'=2/y，AM斜率，y/(y²/4-m)
则y/(y²/4-m)·2/y=-1
y²=4(m-2),d=√[(y-0)²+(y²/4-m)²]=2√(m-1)