Question

举反例只能证明假命题吗？反证法只能证明真命题吗？后一个问题比较不懂，请高手解答。

我觉得真命题举不出反例，所以应该不能用举反例的。但是真命题好像可以用反证法啊，就是反过来假设是成立的，那么原命题不成立。我这种思维有漏洞吗？请指正。

Answer 1

举反例和反证法是判断命题真假的两种方法,但本质不同. 所谓反例,通常是指用来说明某个例题不成立的例子.举反例就是证明某个命题是假命题的一种方法,如“两个无理数之和是无理数.”判断这个命题不是真命题,只要举出“卜涯与1一万之和是有理数”,就可以确定这个命题是假命题. 又如:若一个凸多边形的对角线都相等,那么这个凸多边形(). (A)一定是四边形 (B)一定是五边形 (C)是四边形或五边形 (D)是各边都相等的多边形或各内角都相等的多边形 我们可以通过举反例来确定各选项的正误. 因为正五边形是对角线相等的多边形,但不是四边形,因此可以否定(A);正方形是对角线相等的多边形,但不是五边形,因此可以否定(B);等腰梯形的对角线也相等,然而它的各边不都相等,各角也不都相等,因此可以否定(D),所以应选(C). 可见,证明一个命题是假命题,不必举很多的反例,只要能举出一个符合条件但又与结论不相符的例子就可以了. 对于真命题,则不可用举反例的方法证明,而必须通过逻辑论证的方法证明其成立.显然,如果一个命题是真命题,是举不出一个反例的. 而反证法,是证明一个命题是真命题的一种方法.它的依据是逻辑思维来论证其成立的：反证法的证明步骤为: (l)反设:假设结论的反面成立; (2)归谬:从反设和题设条件出发，推出与公理、定理或题设相矛盾的结果(或自相矛盾的结果); (3)存真:由所得结论矛盾，肯定原命题成立