Question

请问这个反常积分的计算哪里算错了？

不知道哪里算错了，后面算不下去了，我的步骤哪里错了。我看答案都是要e^x换e^-x，或者后者换前者。不太明白为什么要这么换。请问反常积分怎么才能积出来？尽量选能积出结果的原函数还是？





Answer 1

∫(0->+∞) xe^(-x)/(1+e^(-x))^2 dx

=∫(0->+∞) xe^x/(1+e^x )^2 dx
=-∫(0->+∞) xd[1/(1+e^x )]
=-[x/(1+e^x )]|(0->+∞) +∫(0->+∞) dx/(1+e^x )
=0 + ∫(0->+∞) e^(-x) /(1+e^(-x) ) dx
=0 - ∫(0->+∞) d (1+e^(-x)) /(1+e^(-x) )
=-[ln|1+e^(-x)|]|(0->+∞)
=ln2

追问

为什么第二步要换成e^-x，或者说，是怎么想到这一步的

追答

不换成 e^x
∫(0->+∞) xe^(-x)/(1+e^(-x))^2 dx
=∫(0->+∞) x d [1/(1+e^(-x))]
= [x/(1+e^(-x))]|(0->+∞) -∫(0->+∞) dx/(1+e^(-x))
但是
lim(x->+∞) x/(1+e^(-x)) 不存在
只好做出一些变化！

Answer 2

请问这个反常积分的计算哪里算错了我觉得这个你可以搜索一下在网上就知道了了