f(x)可导,f(a)=f(b),证明存在ζ∈(a,b)使得f(a)-f(ζ)=ζf'(ζ)
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取g(x)=
(f(x)-f(a))/(x-a)
(当x≠a时)
0
(x=a)
则g在[a,b]连续,(a,b]可导,
g'(b)=-(f(b)-f(a))/(b-a)²,
g(b)=(f(b)-f(a))/(b-a)
g满足拉格朗日中值定理条件,故存在ζ,g'(ζ)=(g(b)-(g(a))/(b-a))=(f(b)-f(a))/(b-a)²
=
-g'(b)
由导函数的介值定理,存在ξ,使g’(ξ)=0,所以f(ξ)-f(a)=f'(ξ)(ξ-a)
(f(x)-f(a))/(x-a)
(当x≠a时)
0
(x=a)
则g在[a,b]连续,(a,b]可导,
g'(b)=-(f(b)-f(a))/(b-a)²,
g(b)=(f(b)-f(a))/(b-a)
g满足拉格朗日中值定理条件,故存在ζ,g'(ζ)=(g(b)-(g(a))/(b-a))=(f(b)-f(a))/(b-a)²
=
-g'(b)
由导函数的介值定理,存在ξ,使g’(ξ)=0,所以f(ξ)-f(a)=f'(ξ)(ξ-a)
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证明:
令g(x)=x[f(x)-f(a)]
f(x)
可导
,所以g(x)也可导,
又f(a)=f(b)
所以g(a)=a[f(a)-f(a)]=0
g(b)=b[f(b)-f(a)]=0
根据
罗尔定理
得知,在(a,b)内必存在ζ∈(a,b)使g`(ζ)=0
而g`(x)=[x[f(x)-f(a)]]`=f(x)-f(a)+xf`(x)
所以g`(ζ)=f(ζ)-f(a)+ζf`(ζ)=0
即f(a)-f(ζ)=ζf'(ζ)
令g(x)=x[f(x)-f(a)]
f(x)
可导
,所以g(x)也可导,
又f(a)=f(b)
所以g(a)=a[f(a)-f(a)]=0
g(b)=b[f(b)-f(a)]=0
根据
罗尔定理
得知,在(a,b)内必存在ζ∈(a,b)使g`(ζ)=0
而g`(x)=[x[f(x)-f(a)]]`=f(x)-f(a)+xf`(x)
所以g`(ζ)=f(ζ)-f(a)+ζf`(ζ)=0
即f(a)-f(ζ)=ζf'(ζ)
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