Question

由定积分的性质和几何意义，说明下列各式的值

(1).以-a为积分下限，a为积分上限，被积式：根号下a^2-x^2
(2).以0为积分下限，1为积分上限，被积式：(根号下1-（x-1）^2)-x

在线等，请各位大师帮忙、谢谢了、

Answer 1

定积分的几何意义是被积曲线与积分变量轴在积分区间内围成的图形的面积，
在积分区间内：
（1）是以原点为圆心，a为半径的圆的上半圆的面积，故（1）=(兀a^2)/2
（2）是以(1,0)为圆心，1为半径的圆的1/4圆的面积（前半式），与y=x围成的图形的面积（后半式）的差，故（2）=兀/4-1/2

Answer 2

(1)
∫(-a~a) √(a² - x²) dx = 2∫(0~a) √(a² - x²) dx，偶函数性质
这个函数表示圆x² + y² = a²，半径为a，在-a到a上的面积，即半个圆形
积分表示的面积为πa² * 1/2 = πa²/2
(2)
∫(0~1) [√(1 - (x - 1)²) - x] dx
= ∫(0~1) √(1 - (x - 1)²) dx - ∫(0~1) x dx
前面式子表示圆y² + (x - 1)² = 1，半径为1，在0到1上的面积，圆心(1，0)，即1/4个圆形
面积为π/4
而∫(0~1) x dx，表示由直线x - y = 0，x轴和y轴围成的三角形面积
底长是1，高也是1，三角形面积为1/2 * 1 * 1 = 1/2
所以该积分的值是π/4 - 1/2